7.1 扩散定律(2)

    7.1.3 扩散方程的求解

    1. 扩散第一方程
    扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。下面用氧通过金属薄壁的扩散过程来说明扩散第一方程的解法。
    如图7-3所示，一个内外径分别为r₁和r₂的球罐中储存有高压氧气，罐内气压为p₁，罐外大气中氧分压为p₂。由于氧气泄漏非常缓慢，所以假设p₁不随时间变化，达到稳态后，氧气将以一恒定速率泄漏。由菲克第一定律，氧气在球罐壁内的扩散通量为
    
则，通过整个球罐壁单位时间泄漏的氧气量为
           （7-3）
      对上式积分，有
           （7-4）
其中，c₁和c₂分别为氧分子在球罐内、外壁的溶解度。根据Sievert定律，双原子分子气体在固体中的溶解度通常与压力的平方根成正比，即c=Kp^1/2因此，单位时间内氧气泄漏量为
             （7-5）
2. 扩散第二方程
      1）高斯解
     把总量为M的扩散元素沉淀成非常薄的薄层，夹在两个“无限”厚的相同试样之间进行扩散。这里的无限厚是指试样的厚度或长度远大于点阵扩散长度时的情况。这时近似取沉淀层的厚度为零，则方程（7-2）的初始条件和边界条件分别为
      t=0，x=0 C=∞
        x≠0 C=0
        t≥0 x=±∞ C=0
满足方程（7-2）及上述条件的解为
           （7-6）
此解称为高斯函数解，其曲线如图7-4所示。若沉淀物是置于试样表面的薄层，即扩散只向x>0扩散，则方程的解应为
             （7-7）
     利用此解可以通过示踪原子法测定固体材料中扩散系数，以及解决半导体掺杂过程中的扩散问题。